Question

11．定义在R上的函数f（x）满足f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}（1-x），x≤0}\\{f（x-1）-f（x-2），x＞0}\end{array}\right.$，则f（2 ）=-1；2f（2015）=2．

Answer 1

分析 由已知得f（2 ）=f（1）-f（0）=f（0）-f（-1）-f（0）=-f（-1）=-log₂2=-1；当x＞3时满足f（x）=-f（x-3）=f（x-6），周期为6，由此能示出2f（2015）．

解答 解：∵定义在R上的函数f（x）满足f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}（1-x），x≤0}\\{f（x-1）-f（x-2），x＞0}\end{array}\right.$，
∴f（2 ）=f（1）-f（0）=f（0）-f（-1）-f（0）=-f（-1）=-log₂2=-1；
∵f（2015）=f（2014）-f（2013）=f（2013）-f（2012）-f（2013）
=-f（2012）=-[f（2011）-f（2010）]=-[f（2010）-f（2009）-f（2010）]=f（2009），
∴当x＞3时满足f（x）=-f（x-3）=f（x-6），周期为6，
∴f（2015）=f（335×6+5）=f（5）=f（-1）=log₂2=1，
∴2f（2015）=2．
故答案为：-1，2．

点评 本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要注意函数的周期性的合理运用．