Question

1．圆x²+y²=8内有一点P₀（-1，2），AB为过点P₀且倾斜角为α的弦．
（1）当α=135°时，求AB的长；
（2）若AB=2$\sqrt{7}$，写出直线AB的方程．

Answer 1

分析 （1）依题意直线AB的斜率为-1，直线AB的方程，根据圆心0（0，0）到直线AB的距离，由弦长公式求得AB的长．
（2）分类讨论，利用AB=2$\sqrt{7}$，即可写出直线AB的方程．

解答 解：（1）依题意直线AB的斜率为-1，直线AB的方程为：y-2=-（x+1），
圆心0（0，0）到直线AB的距离为d=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，则|AB|=2$\sqrt{8-\frac{1}{2}}$=$\sqrt{30}$．
（2）①当直线AB的斜率不存在时，l：x=-1，此时d=1，|AB|=2$\sqrt{8-1}$=2$\sqrt{7}$，满足题意…（7分）
②设AB的斜率为k，则y-2=k（x+1），即：kx-y+（2+k）=0，
圆心0（0，0）到直线AB的距离为d=$\frac{|2+k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
|AB|=2$\sqrt{\frac{7{k}^{2}-4k+4}{{k}^{2}+1}}$=2$\sqrt{7}$
解得k=-$\frac{3}{4}$，此时AB的方程为：3x+4y-5=0…（11分）
综上所述：直线AB的方程为：x=-1或3x+4y-5=0…（12分）

点评 本题考查用点斜式求直线方程，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，求出圆心0（0，0）到直线AB的距离为d，是解题的关键．