Question

1．已知数列{a_n}满足a₁=60，a_n+1-a_n=2n，（n∈N^*），则$\frac{a_n}{n}$的最小值为$\frac{29}{2}$．

Answer 1

分析 利用累加法求出a_n=n²-n+60，从而$\frac{{a}_{n}}{n}$=n+$\frac{60}{n}$-1，由此能求出$\frac{a_n}{n}$的最小值．

解答 解：∵数列{a_n}满足a₁=60，a_n+1-a_n=2n，（n∈N^*），
∴a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）
=60+2+4+…+2（n-1）
=60+2×$\frac{（n-1）（1+n-1）}{2}$
=n²-n+60，
∴$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{{n}^{2}-n+60}{n}$=n+$\frac{60}{n}$-1，
由n=$\frac{60}{n}$，n∈N^*，得n=8时，
$\frac{a_n}{n}$取最小值：8+$\frac{60}{8}-1$=$\frac{29}{2}$．
故答案为：$\frac{29}{2}$．

点评 本题考查数列的前n项和与项数n的比值的最小值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意累加法和基本不等式的合理运用．