Question

10．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且asinB=-bsin（A+$\frac{π}{3}$）．
（1）求A；
（2）若△ABC的面积S=$\frac{\sqrt{3}}{4}$c²，求sinC的值．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理化简已知可得tanA=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，结合范围A∈（0，π），即可计算求解A的值．
（2）由（1）可求sinA=$\frac{1}{2}$，利用三角形面积公式可求b=$\sqrt{3}c$，利用余弦定理可求a=$\sqrt{7}c$，由正弦定理即可计算求解．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）∵asinB=-bsin（A+$\frac{π}{3}$）．
∴由正弦定理可得：sinAsinB=-sinBsin（A+$\frac{π}{3}$）．即：sinA=-sin（A+$\frac{π}{3}$）．
可得：sinA=-$\frac{1}{2}$sinA-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA，化简可得：tanA=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵A∈（0，π），
∴A=$\frac{5π}{6}$…6分
（2）∵A=$\frac{5π}{6}$，
∴sinA=$\frac{1}{2}$，
∵由S=$\frac{\sqrt{3}}{4}$c²=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{4}$bc，可得：b=$\sqrt{3}c$，
∴a²=b²+c²-2bccosA=7c²，可得：a=$\sqrt{7}c$，
由正弦定理可得：sinC=$\frac{csinA}{a}=\frac{\sqrt{7}}{14}$…12分

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．