Question

5．已知函数g（x）=ax²-2ax+1+b（a＞0）在区间[2，3]上有最大值4和最小值1，记f（x）=$\frac{g（x）}{x}$．
（1）求a、b的值；
（2）若不等式f（2^x）-k•2^x≥0在x∈[-1，1]上恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据一元二次函数的性质建立不等式关系进行求解即可．
（2）判断函数g（x）的单调性，利用参数分离法进行求解即可．

解答 解：（1）g（x）=ax²-2ax+1+b的对称轴为x=1，
∵a＞0，∴函数在[2，3]上为增函数，
∵g（x）在区间[2，3]上有最大值4和最小值1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{g（2）=1}\\{g（3）=4}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{1+b=1}\\{3a+b+1=4}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=0}\end{array}\right.$．
（2）∵a=1．b=0，∴g（x）=x²-2x+1，
则f（x）=$\frac{g（x）}{x}$=x+$\frac{1}{x}$-2，
不等式f（2^x）-k•2^x≥0可化为：2^x+$\frac{1}{{2}^{x}}$-2-k•2^x≥0，
即k≤1+$（\frac{1}{{2}^{x}}）^{2}$-2•${（\frac{1}{{2}^{x}}）}^{\;}$，
令t=$\frac{1}{{2}^{x}}$，
∵x∈[-1，1]，
∴t∈[$\frac{1}{2}$，2]，
令h（t）=t²-2t+1=（t-1）²，t∈[$\frac{1}{2}$，2]，
∴当t=1时，函数取得最小值h（1）=0，
∴k≤0．
故所以k的取值范围是k≤0．

点评 本题考查了恒成立问题，考查了二次函数的性质，训练了利用二次函数的单调性求最值，考查了数学转化思想方法，解答此题的关键在于把不等式在闭区间上有解转化为分离变量后的参数k小于等于函数在闭区间上的最大值，是学生难以想到的地方，是难题．