Question

14．已知关于x的不等式 x²-（a²+3a+2）x+3a（a²+2）＜0（a∈R）．
（Ⅰ）解该不等式；
（Ⅱ）定义区间（m，n）的长度为d=n-m，若a∈[0，4]，求该不等式解集表示的区间长度的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）原不等式化为[x-（a²+2）]（x-3a）＜0，根据1＜a＜2，a=1或a=2分类讨论，能求出原不等式的解集．
（Ⅱ）当a≠1且a≠2时，$d=|{{a^2}+2-3a}|=|{{{（a-\frac{3}{2}）}^2}-\frac{1}{4}}|$，a∈[0，4]，由此能求出该不等式解集表示的区间长度的最大值．

解答 解：（Ⅰ）原不等式可化为[x-（a²+2）]（x-3a）＜0，…（1分）
当a²+2＜3a，即1＜a＜2时，
原不等式的解为a²+2＜x＜3a； …（3分）当a²+2=3a，即a=1或a=2时，原不等式的解集为∅； …（5分）
当a²+2＞3a，即a＜1或a＞2时，
原不等式的解为3a＜x＜a²+2．…（7分）
综上所述，当1＜a＜2时，原不等式的解为a²+2＜x＜3a，
当a=1或a=2时，原不等式的解集为∅，
当a＜1或a＞2时，原不等式的解为3a＜x＜a²+2．
（Ⅱ）当a=1或a=2时，该不等式解集表示的区间长度不可能最大．…（8分）
当a≠1且a≠2时，$d=|{{a^2}+2-3a}|=|{{{（a-\frac{3}{2}）}^2}-\frac{1}{4}}|$，a∈[0，4]．…（9分）
设t=a²+2-3a，a∈[0，4]，
则当a=0时，t=2，当$a=\frac{3}{2}$时，$t=-\frac{1}{4}$，当a=4时，t=6，…（11分）
∴当a=4时，d_max=6．…（12分）

点评 本题考查一元二次不等式的解法，考查不等式解集表示的区间长度的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．