Question

4．已知抛物线x²=2py，准线方程为y+1=0，直线l过定点T（0，t）（t＞0）且与抛物线交于A、B两点，O为坐标原点．
（1）求抛物线的方程；
（2）$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由；
（3）当t=1时，设$\overrightarrow{AT}=λ•\overrightarrow{TB}$，记|AB|=f（λ），求f（λ）的解析式．

Answer 1

分析 （1）根据准线方程便可得到$-\frac{p}{2}=-1$，从而可以求出p，这便得到抛物线方程为x²=4y；
（2）可设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可得到直线l方程y=kx+t，联立抛物线方程并消去y得到x²-4kx-4t=0，从而得到$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=4k}\\{{x}_{1}{x}_{2}=-4t}\\{{y}_{1}{y}_{2}={t}^{2}}\end{array}\right.$，这样即可得到$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}={t}^{2}-4t$，根据题意知t为定值，即得出$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$为定值，定值为t²-4t；
（3）可得到T（0，1），可设$B（{x}_{0}，\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}）$，根据条件$\overrightarrow{AT}=λ\overrightarrow{TB}$便可得到$A（-λ{x}_{0}，1+λ-λ•\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}）$，而根据点A在抛物线x²=4y上便可得到${{x}_{0}}^{2}=\frac{4}{λ}$，而T又是抛物线的焦点，从而有f（λ）=|AB|=y_A+y_B+2，带入A，B的纵坐标及${{x}_{0}}^{2}=\frac{4}{λ}$便可得出f（λ）的解析式．

解答 解：（1）由题意，$-\frac{p}{2}=-1$，p=2；
∴抛物线方程为x²=4y；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线l：y=kx+t，则：
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+t}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$得，x²-4kx-4t=0；
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=4k}\\{{x}_{1}{x}_{2}=-4t}\end{array}\right.$；
∴y₁y₂=（kx₁+t）（kx₂+t）=${k}^{2}{x}_{1}{x}_{2}+kt（{x}_{1}+{x}_{2}）+{t}^{2}$=-4k²t+4k²t+t²=t²；
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}={x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}={t}^{2}-4t$；
因为点T（0，t）是定点，所以t是定值，所以$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$是定值，此定值为t²-4t；
（3）T（0，1），设$B（{x}_{0}，\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}）$，则：
$\overrightarrow{TB}=（{{x_0}\;，\;\frac{x_0^2}{4}-1}）$，$\overrightarrow{AT}=λ\overrightarrow{TB}=（{λ{x_0}\;，\;λ•\frac{x_0^2}{4}-λ}）$，故$A（-λ{x_0}\;，\;1+λ-λ•\frac{x_0^2}{4}）$；
因为点A在抛物线x²=4y上，所以${λ^2}x_0^2=4（{1+λ-λ•\frac{x_0^2}{4}}）$，得$x_0^2=\frac{4}{λ}$；
又T为抛物线的焦点，故$f（λ）=|AB|={y_A}+{y_B}+2=（{1+λ-λ•\frac{x_0^2}{4}}）+\frac{x_0^2}{4}+2$=$λ+\frac{1}{λ}+2$；
即$f（λ）=λ+\frac{1}{λ}+2$（λ＞0）．

点评 考查抛物线的标准方程，抛物线的准线方程，抛物线的定义，直线的点斜式方程，韦达定理，向量数量积的坐标运算，以及向量坐标的数乘运算．