Question

9．F为抛物线y²=12x的焦点，过F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，过A作AH垂直抛物线的准线于H，若直线l的倾角α∈（0，$\frac{π}{3}$]，则△AFH面积的最小值为36$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 设A点坐标（x，y）（y＞0），直线l的倾角α∈（0，$\frac{π}{3}$]，则x≥9，△AFH面积S=$\frac{1}{2}$×（x+3）y，利用导数确定函数的单调性，即可求出△AFH面积的最小值．

解答 解：设A点坐标（x，y）（y＞0），直线l的倾角α∈（0，$\frac{π}{3}$]，则x≥9
△AFH面积S=$\frac{1}{2}$×（x+3）y，
t=S²=$\frac{1}{4}$（x+3）²×12x=3x（x+3）²，
t′=3（x+3）²+6x（x+3）=3（x+3）（3x+3）＞0，函数单调递增．
∴x=9时，S最小，S²=3×9×12²，S=36$\sqrt{3}$．
故答案为：36$\sqrt{3}$．

点评 本题考查抛物线的性质，考查三角形的面积，确定面积及其单调性是解题的关键．