Question

13．设{a_n}是公比为q的等比数列，其前n项积为T_n，并满足条件a₁＞1，a₉₉a₁₀₀-1＞0，$\frac{{{a_{99}}-1}}{{{a_{100}}-1}}＜0$，给出下列结论：
①0＜q＜1②a₉₉a₁₀₁＜1③T₁₉₈＜1④使T_n＜1成立的最小自然数n等于199．
其中正确的编号为①②④．

Answer 1

分析 利用等比数列的性质求解．

解答 解：∵a₉₉a₁₀₀-1＞0，∴a₁²•q¹⁹⁷＞1，
∴（a₁•q⁹⁸）²＞1，
∵a₁＞1，∴q＞0，
又∵$\frac{{{a_{99}}-1}}{{{a_{100}}-1}}＜0$，∴a₉₉＞1，a₁₀₀＜1．
∴0＜q＜1，即①正确
∵a₉₉a₁₀₁=a₁₀₀²＜1∴②正确；
又∵T₁₉₈=a₁¹⁹⁸•q^1+2+…+197=（a₉₉•a₁₀₀）⁹⁹＞1，∴③不正确；
满足Tn=a1•${q}^{\frac{n-1}{2}}$＜1的最小自然数n满足$\frac{n-1}{2}$=99，即n=199，∴④正确．
∴正确的为①②④．
故答案为：①②④．

点评 本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质、运算法则的合理运用．