Question

15．四个数成递增等差数列，其和为8，若前三个数依次分别加上2，1，1，则此三个数成等比数列．
（1）求这四个数；
（2）求以这四个数为前4项的等差数列前n项之和S_n．

Answer 1

分析 （1）设这四个数为a-d，a，a+d，a+2d，推导出2a+d=4，a＜2，再由（a-d+2）（a+d+1）=（a+1）²，能求出这四个数．
（2）由a₁=-1，d=2，能求出S_n．

解答 解：（1）∵四个数成递增等差数列，其和为8，
前三个数依次分别加上2，1，1，则此三个数成等比数列．
∴设这四个数为a-d，a，a+d，a+2d，
由a-d+a+a+d+a+2d=8，
即2a+d=4，d=4-2a，
由于是递增数列，所以d＞0，即a＜2，
又前三个数依次分别加上2，1，1，此三个数成等比数列，
由（a-d+2）（a+d+1）=（a+1）²，
即（a-4+2a+2）（a+4-2a+1）=（a+1）²，
解得a=1或a=$\frac{11}{4}$（舍去），
∴d=4-2a=2，∴这四个数分别是：-1，1，3，5．
（2）∵a₁=-1，d=2，
∴S_n=-n+$\frac{n（n-1）}{2}×2$=n²-2n．

点评 本题考查等差数列的前四项及前n项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用．