Question

已知函数y=f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，有f（2）=1，对于任意的x＞0，y＞0，都有f（xy）=f（x）+f（y），且满足当x＞1时，f（x）＞0成立．
（1）求f（1）、f（4）的值；    
（2）求满足f（x）+f（x-3）＞2的x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）分别令x=y=1，及x=y=2，即可求出函数值f（1），f（4）．
（2）先利用已知条件证明此函数的单调性，进而利用单调性把自变量解放出来，从而求出x的取值范围．

解答：解：（1）令x=y=1，则f（1）=f（1）+f（1），∴f（1）=0．
令x=y=2，则f（2×2）=f（2）+f（2），∴f（4）=2f（2）=2×1=2．
（2）下面先证明函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数．
证明：任取x₁，x₂满足0＜x₁＜x₂，则

x2

x1

＞1，由已知得f(

x2

x1

)＞0．
∴f（x₂）=f(

x2

x1

×x1)=f(

x2

x1

)+f（x₁）＞f（x₁），即f（x₂）＞f（x₁），
∴函数f（x）在区间（0，+∞）是单调递增．
∵f（x）+f（x-3）=f（x²-3x）＞2=f（4），∴x²-3x＞4，解得x＞4，或x＜-1，
而已知x＞0，∴x＜-1应舍去，
故x的取值范围是x＞4．

点评：本题考查了抽象函数的求值及利用其单调性求自变量的取值范围，充分理解抽象函数的条件和恰当的取值是解题的关键．