Question

【题目】如图在四棱锥中，侧棱平面，底面是直角梯形，，，，，为侧棱中点.

（1）设为棱上的动点，试确定点的位置，使得平面平面，并写出证明过程；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）当为中点时，满足平面平面；证明见解析（2）

【解析】

（1）当为中点时，满足平面平面，在梯形中，可得，，即四边形为平行四边形，得到，在中，根据、为中点，得到，再利用面面平行的判定定理得证.

（2）根据、、两两垂直，分别以、、为、、轴建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的一个法向量，利用二面角的向量公式求解.

（1）当为中点时，满足平面平面，

证明如下：

在梯形中，因为，，，

所以，，

即四边形为平行四边形，所以，即平面，

在中，因为、分别为、中点，所以，即平面.

又因为，平面，平面，

所以平面平面.

（2）由题知、、两两垂直，如图，

分别以、、为、、轴建立空间直角坐标系.

则，，，，，，，

设平面的一个法向量为，

则，所以，所以

又知平面，所以平面的一个法向量为，

所以，

由图可知二面角是钝角

所以二面角的余弦值为.