Question

9．如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PD=2$\sqrt{3}$，O为AC与BD的交点，E为棱PB的中点．
（Ⅰ）证明：△EAC是等腰直角三角形；
（Ⅱ）求二面角A-CD-E的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OE为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明△EAC是等腰直角三角形．
（Ⅱ）求出平面ACD的法向量和平面CDE的法向量，利用向量法能求出二面角A-CD-E的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）∵在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，
AB=2，PD=2$\sqrt{3}$，O为AC与BD的交点，E为棱PB的中点．
∴OE⊥平面ABCD，AC⊥BD，
∴以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OE为z轴，建立空间直角坐标系，
A（$\sqrt{3}$，0，0），B（0，1，0），P（0，-1，2$\sqrt{3}$），C（-$\sqrt{3}$，0，0），E（0，0，$\sqrt{3}$），
$\overrightarrow{AE}$=（-$\sqrt{3}$，0，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{CE}$=（$\sqrt{3}$，0，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{AC}$=（2$\sqrt{3}$，0，0），
|$\overrightarrow{AE}$|=$\sqrt{3+3}$=$\sqrt{6}$，|$\overrightarrow{CE}$|=$\sqrt{6}$，
∵AE=CE，AE²+CE²=12，
∴△EAC是等腰直角三角形．
解：∵平面ACD的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，0，1），
设平面CDE的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
∵D（0，-1，0），$\overrightarrow{DE}$=（0，1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{DC}$=（-$\sqrt{3}$，1，0），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DE}=y+\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DC}=-\sqrt{3}x+y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$，-1），
设二面角A-CD-E的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{7}}$=$\frac{\sqrt{7}}{7}$，
∴二面角A-CD-E的余弦值为$\frac{\sqrt{7}}{7}$．

点评 本题考查三角形是等腰直角三角形的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．