Question

已知函数f(x)=

x2+ax+1 x≥1 ax2+x+1 x＜1

，则“-2≤a≤0”是“f（x）在R上单调递增”的

必要不充分

条件．（填充分不必要、必要不充分或充要）

Answer 1

分析：由于函数f（x）为分段函数，故要使其为单调增函数，需每段上为增函数且x＜1时的最大值小于或等于x≥1时的最小值，因此先求函数为增函数的充要条件，再比较已知集合与充要条件集合的包含关系即可判断其充要性

解答：解：函数f(x)=

x2+ax+1 x≥1 ax2+x+1 x＜1

为分段函数，
当x≥1时，为二次函数，图象是开口向上，对称轴为x=-

a

2

的抛物线，x=1时，y₁=a+2
当x＜1时，为二次函数，图象是开口向下，对称轴为x=-

1

2a

的抛物线，x→1时，y₂→a+2
函数f（x）在R上单调递增的充要条件是

- a 2 ≤1 - 1 2a ≥1 y1-y2≥0

，即

a≥-2 - 1 2 ≤a≤0

，即-

1

2

≤a≤0
∵[-2，0]?[-

1

2

，0]
∴“-2≤a≤0”是“f（x）在R上单调递增”的 必要不充分条件
故答案为  必要不充分

点评：本题考查了分段函数的单调性的判断方法，判断命题充要性的方法，二次函数的图象和性质