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    【题目】已知椭圆的离心率为，其右顶点为，下顶点为，定点，的面积为，过点作与轴不重合的直线交椭圆于两点，直线分别与轴交于两点.

    （1）求椭圆的方程；

    （2）试探究的横坐标的乘积是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.

    【答案】（1）（2）是定值，

    【解析】

    （1）由三角形的面积、离心率列出方程组求解a、b，即可写出椭圆方程；（2）设出直线的方程与点的坐标，求出直线BP、BQ的方程进而求出点M、N的横坐标，两横坐标相乘并化简为关于、的表达式，直线的方程与椭圆方程联立并利用韦达定理求出、，代入横坐标的乘积化简即可证明.

    （1）由已知，的坐标分别是由于的面积为，

    ①，又由，化简得②，

    ①②两式联立解得：或（舍去），，

    椭圆方程为；

    （2）设直线的方程为，的坐标分别为

    则直线的方程为，令，得点的横坐标，

    直线的方程为，令，得点的横坐标，

    把直线代入椭圆得，

    由韦达定理得，

    ∴，是定值．

    练习册系列答案
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】某蛋糕店制作并销售一款蛋糕，制作一个蛋糕成本4元，且以9元的价格出售，若当天卖不完，剩下的则无偿捐献给饲料加工厂．根据以往100天的资料统计，得到如表需求量表：

    需求量/个

    [100，110）

    [110，120）

    [120，130）

    [130，140）

    [140，150]

    天数

    15

    25

    30

    20

    10

    该蛋糕店一天制作了这款蛋糕X（X∈N）个，以x（单位：个，100≤x≤150，x∈N）表示当天的市场需求量，T（单位：元）表示当天出售这款蛋糕获得的利润．

    （1）当x＝135时，若X＝130时获得的利润为T1，X＝140时获得的利润为T2，试比较T1和T2的大小；

    （2）当X＝130时，根据上表，从利润T不少于560元的天数中，按需求量分层抽样抽取6天．

    （i）求此时利润T关于市场需求量x的函数解析式，并求这6天中利润为650元的天数；

    （ii）再从这6天中抽取3天做进一步分析，设这3天中利润为650元的天数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染,某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市,并停留2天.

    (Ⅰ)求此人到达当日空气重度污染的概率；

    (Ⅱ)设X是此人停留期间空气质量优良的天数,求X的分布列与数学期望.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】小明在某物流派送公司找到了一份派送员的工作，该公司给出了两种日薪薪酬方案．甲方案：底薪100元，每派送一单奖励1元；乙方案：底薪140元，每日前54单没有奖励，超过54单的部分每单奖励20元.

    (1)请分别求出甲、乙两种薪酬方案中日薪y（单位：元）与送货单数n的函数关系式；

    (2)根据该公司所有派送员100天的派送记录，发现派送员的日平均派送单数满足以下条件：在这100天中的派送量指标满足如图所示的直方图，其中当某天的派送量指标在时，日平均派送量为单．若将频率视为概率，回答下列问题：

    ①估计这100天中的派送量指标的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表) ；

    ②根据以上数据，设每名派送员的日薪为（单位：元），试分别求出甲、乙两种方案的日薪的分布列及数学期望. 请利用数学期望帮助小明分析他选择哪种薪酬方案比较合适？并说明你的理由.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】直四棱柱被平面所截得到如图所示的五面体，，．

    （1）求证：∥平面；

    （2）若，求二面角的余弦值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】从秦朝统一全国币制到清朝末年，圆形方孔铜钱（简称“孔方兄”）是我国使用时间长达两千多年的货币．如图1，这是一枚清朝同治年间的铜钱，其边框是由大小不等的两同心圆围成的，内嵌正方形孔的中心与同心圆圆心重合，正方形外部，圆框内部刻有四个字“同治重宝”．某模具厂计划仿制这样的铜钱作为纪念品，其小圆内部图纸设计如图2所示，小圆直径1厘米，内嵌一个大正方形孔，四周是四个全等的小正方形（边长比孔的边长小），每个正方形有两个顶点在圆周上，另两个顶点在孔边上，四个小正方形内用于刻铜钱上的字．设，五个正方形的面积和为S．

    （1）求面积S关于的函数表达式，并求定义域；

    （2）求面积S的最小值及此时的值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】已知函数，其中

    （Ⅰ）若，讨论的单调性；

    （Ⅱ）若，当时，恒成立，求实数的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】某市《城市总体规划（年）》提出到2035年实现“15分钟社区生活圈”全覆盖的目标，从教育与文化、医疗与养老、交通与购物、休闲与健身4个方面构建“15分钟社区生活圈“指标体系，并依据“15分钟社区生活圈”指数高低将小区划分为：优质小区(指数为、良好小区(指数为0.4-0.63、中等小区(指数为0.2~0.4)以及待改进小区(指数为0-0.2)4个等级．下面是三个小区4个方面指标值的调查数据：

    注：每个小区”15分钟社区生活圈”指数其中、、、为该小区四个方面的权重，为该小区四个方面的指标值(小区每一个方面的指标值为之间的一个数值)

    现有100个小区的“15分钟社区生活圈“指数数据，整理得到如下频数分布表：

    （1）分别判断A、B、C三个小区是否是优质小区，并说明理由；

    （2）对这100个小区按照优质小区、良好小区、中等小区和待改进小区进行分层抽样，抽取10个小区进行调查，若在抽取的10个小区中再随机地选取2个小区做深入调查，记这2个小区中为优质小区的个数为ζ，求ζ的分布列及数学期望.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】万众瞩目的第14届全国冬季运动运会（简称“十四冬”）于2020年2月16日在呼伦贝尔市盛大开幕，期间正值我市学校放寒假，寒假结束后，某校工会对全校100名教职工在“十四冬”期间每天收看比赛转播的时间作了一次调查，得到如图频数分布直方图：

    （1）若将每天收看比赛转播时间不低于3小时的教职工定义为“冰雪迷”，否则定义为“非冰雪迷”，请根据频率分布直方图补全列联表；并判断能否有的把握认为该校教职工是否为“冰雪迷”与“性别”有关；

    （2）在全校“冰雪迷”中按性别分层抽样抽取6名，再从这6名“冰雪迷”中选取2名作冰雪运动知识讲座.记其中女职工的人数为，求的分布列与数学期望.

    附表及公式：

    0.15

    0.10

    0.05

    0.025

    0.010

    0.005

    0.001

    2.072

    2.706

    3.841

    5.024

    6.635

    7.879

    10.828

    ，

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