Question

【题目】已知函数，其中

（Ⅰ）若，讨论的单调性；

（Ⅱ）若，当时，恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）首先求出函数的定义域，求出函数的导函数，再对和分类讨论可得；

（Ⅱ）令，求得导函数为，再令，对求导得，对参数分类讨论计算可得；

（Ⅰ）因为，所以．

所以．

①当时，由得；由得．

故在上单调递减，在上单调递增．

②当时，由得；由得．

故在上单调递减，在上单调递增

综上，①当时在上单调递减，在上单调递增；

②当时在上单调递减，在上单调递增．

（Ⅱ）若，不等式转化为当时，恒成立．

令，则．

令，则．

①当时，对任意，恒有，

所以在上单调递增，所以，所以不合题意．

②当时，因为，所以，所以，即，

所以在上单调递减，所以，即，

所以在上单调递减，所以，

所以符合题意．

③当时，令，解得：令，解得．

所以在上单调递增．所以，即，

所以在上单调递增，所以当时，，

故不合题意．

综合①②③可知，实数的取值范围是．