Question

【题目】如图所示，平面平面，且四边形为矩形，四边形为直角梯形，，，，．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求平面与平面所成锐二面角的大小；

（Ⅲ）求直线与平面所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）．

【解析】

证明平面，以 为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，（Ⅰ）为平面的一个法向量，证明平面，只需证明;（Ⅱ）求出平面的一个法向量、平面一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求平面与平面所成锐二面角的余弦值；（Ⅲ）求出平面一个法向量为，利用向量的夹角公式，即可求直线与平面所成角的余弦值.

（Ⅰ）证明：四边形为直角梯形，四边形为矩形，

，，

又平面平面，且平面平面，

平面．

以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示空间直角坐标系．根据题意,得以下点的坐标：

，，，，，

则，．

，，

为平面的一个法向量．

又．平面．

平面．

（Ⅱ）设平面的一个法向量为，

则，，

得

平面，平面一个法向量为，

设平面与平面所成锐二面角的大小为，

则

因此，平面与平面所成锐二面角的大小为．

（Ⅲ）根据（Ⅱ）知平面一个法向量为 得

，

设直线与平面所成角为，则

因此，直线与平面所成角的余弦值为．