【题目】从秦朝统一全国币制到清朝末年,圆形方孔铜钱(简称“孔方兄”)是我国使用时间长达两千多年的货币.如图1,这是一枚清朝同治年间的铜钱,其边框是由大小不等的两同心圆围成的,内嵌正方形孔的中心与同心圆圆心重合,正方形外部,圆框内部刻有四个字“同治重宝”.某模具厂计划仿制这样的铜钱作为纪念品,其小圆内部图纸设计如图2所示,小圆直径1厘米,内嵌一个大正方形孔,四周是四个全等的小正方形(边长比孔的边长小),每个正方形有两个顶点在圆周上,另两个顶点在孔边上,四个小正方形内用于刻铜钱上的字.设,五个正方形的面积和为S.
(1)求面积S关于的函数表达式,并求定义域;
(2)求面积S的最小值及此时的值.
【答案】(1),的取值范围为,,;(2)时,面积S有最小值为.
【解析】
(1)构造直角三角形,利用小圆直径与三角函数分别求出大、小正方形的边长,即可求得五个正方形的面积表达式,由小正方形边长小于内嵌一个大正方形的边长可求得的取值范围;(2)利用降幂公式及辅助角公式化简面积表达式为正弦型函数,当时S取最小值,此时求出的值然后求出,由二倍角的正弦公式可求得.
(1)过点O分别作小正方形边,大正方形边的垂线,垂足分别为E,F,
因为内嵌一个大正方形孔的中心与同心圆圆心重合,
所以点E,F分别为小正方形和大正方形边的中点,
所以小正方形的边长为,
大正方形的边长为,
所以五个正方形的面积和为,
,
因为小正方形边长小于内嵌一个大正方形的边长,
所以,,,
所以的取值范围为,,
所以面积S关于的函数表达式为,
的取值范围为,,.
(2)法一:,
,
,
,其中,,
所以,此时,因为,所以
,所以,
所以,
则,化简得:,
由此解得:,
因为,所以,
答:面积S最小值为,
法二:,
,
令,则,
设,,
令,得:,
t | |||
- | 0 | + | |
极小值 |
所以时,面积S最小值为.
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【题目】已知直线是平面和平面的交线,异面直线,分别在平面和平面内.
命题:直线,中至多有一条与直线相交;
命题:直线,中至少有一条与直线相交;
命题:直线,都不与直线相交.
则下列命题中是真命题的为( )
A.B.C.D.
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【题目】四棱锥中,平面,四边形是矩形,且,,是线段上的动点,是线段的中点.
(1)求证:平面;
(2)若直线与平面所成角为,
①求线段的长;
②求二面角的余弦值.
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【题目】已知椭圆的离心率为,其右顶点为,下顶点为,定点,的面积为,过点作与轴不重合的直线交椭圆于两点,直线分别与轴交于两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)试探究的横坐标的乘积是否为定值,若是,请求出该定值;若不是,请说明理由.
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【题目】“三分损益法”是古代中国发明制定音律时所用的方法,其基本原理是:以一根确定长度的琴弦为基准,取此琴强长度的得到第二根琴弦,第二根琴弦长度的为第三根琴弦,第三根琴弦长度的为第四根琴弦.第四根琴弦长度的为第五根琴弦.琴弦越短,发出的声音音调越高,这五根琴弦发出的声音按音调由低到高分别称为“官、商、角(jué)、微(zhǐ)、羽”,则“角"和“徵”对应的琴弦长度之比为( )
A.B.C.D.
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【题目】如图所示,平面平面,且四边形为矩形,四边形为直角梯形,,,,.
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)求平面与平面所成锐二面角的大小;
(Ⅲ)求直线与平面所成角的余弦值.
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【题目】如图,由直三棱柱和四棱锥构成的几何体中, ,平面平面.
(Ⅰ)求证: ;
(Ⅱ)在线段上是否存在点,使直线与平面所成的角为?若存在,求的值,若不存在,说明理由.
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【题目】把函数的图象向右平移个单位长度,再把所得的函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)得到函数的图象,关于的说法有:①函数的图象关于点对称;②函数的图象的一条对称轴是;③函数在上的最上的最小值为;④函数上单调递增,则以上说法正确的个数是( )
A.4个B.3个C.2个D.1个
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