Question

【题目】已知函数（， =2.718………），

（I） 当时，求函数的单调区间；

（II）当时，不等式对任意恒成立，

求实数的最大值.

Answer 1

【答案】（1）函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；

（2）符合题意的实数的最大值为.

【解析】试题分析：（1）求函数单调区间，即求导研究导函数的正负，导函数大于零求增区间，导函数小于零求减区间；（2）这是不等式恒成立求参的问题，转化为， 对任意恒成立，再求导研究函数的单调性，求最值即可.

（1）

由可知，

令得 或

令得

即 此时函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；

（2）当时，不等式 即

令， 对任意恒成立

又

当时， ，所以在上递增，且最小值为

（i）当，即时， 对任意恒成立

在上递增， 当时， 满足题意； （ii）当，即时，

由上可得存在唯一的实数，使得，可得当时， ， 在上递减，此时不符合题意； 综上得，当时，满足题意，即符合题意的实数的最大值为.