Question

【题目】在等比数列中，已知设数列的前n项和为，且

（1）求数列通项公式；

（2）证明：数列是等差数列；

（3）是否存在等差数列，使得对任意，都有？若存在，求出所有符合题意的等差数列；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）详见解析；（3）存在，且.

【解析】

（1）根据已知条件求得，由此求得数列通项公式.

（2）利用，证得数列是等差数列.

（3）由（2）求得和，假设存在符合题意的等差数列，结合求得.

（1）依题意，解得，所以.

（2）依题意，，即①，

所以②，

②-①并化简得，

故，即.

令代入得

.

所以.所以.

所以数列是以为首项，公差为的等差数列.

（3）由（2）得，所以.

所以.

假设存在满足题意的等差数列，使得对任意，都有，设，

即对任意，都有，即③.

首先证明满足③的：

（i）当时，若，，则，不满足③；

（ii）当时，若，，则.

而，则，

所以，则，不满足③；

所以.

令，，

所以在上递增.

所以当时，.

即当时，，即.

所以当，时，.

再证明：

（iii）若，则当时，，，这与③矛盾.

（iv）若，同（i）可得矛盾.所以.

当时，，满足，所以.

综上所述，存在唯一的等差数列，其通项公式为，满足题设.