Question

【题目】已知函数，.

（1）当时，求的单调区间；

（2）当时，记函数，若函数至少有三个零点，求实数的取值范围

Answer 1

【答案】（1）单调递增区间为，；单调递减区间为；（2）

【解析】

（1）求导后，根据导函数的正负可确定函数的单调区间；

（2）求得导函数的零点后，分别在、和三种情况下，根据函数的单调性和最值确定零点的个数，进而得到的范围.

（1）令，则当时，，

，令，解得：，

当和时，；当时，；

的单调递增区间为，；单调递减区间为；

（2）当时，，

令，解得：，，

①当，即时，，

此时至多有两个零点，不合题意；

②当，即时，，此时至多有两个零点，不合题意；

③当，即时，

（i）当时，至多有两个零点，不合题意；

（ⅱ）当时，，，

此时恰好有个零点；

（iii）当时，，，

，

记，则，，

此时有四个零点；

综上所述：满足条件的实数的取值集合为.