Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左、右顶点分别为A、B，右焦点为F，且点F满足，由椭圆C的四个顶点围成的四边形面积为．过点的直线TA，TB与此椭圆分别交于点，，其中，，．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）当T在直线时，直线MN是否过x轴上的一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）直线MN必过x轴上一定点．

【解析】

（1）根据题意求出的值，得到椭圆方程.

（2）计算和的直线方程，联立方程计算坐标，讨论和两种情况，计算得到答案.

（1）由知，，

由椭圆C的四个顶点围成的四边形面积为，

又有，解得，，所以椭圆C的标准方程为．

（2）可知，直线AT的方程为，直线BT的方程为．

点满足，故，．

点满足，故，．

若，则且，得，

此时直线MN的方程为，过点；

若，则，

直线MD的斜率，

直线MD的斜率为，

所在，所以直线MN过点，

因此直线MN必过x轴上一定点．