Question

2．设α∈R，函数f（x）=$\sqrt{2}$sin2xcosα+$\sqrt{2}$cos2xsinα-$\sqrt{2}$cos（2x+α）+cosα，x∈R．
（1）若α∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，求f（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值；
（2）若f（x）=3，求a与x的值．

Answer 1

分析 （1）首先，化简函数解析式，得到f（x）=2sin（2x+α-$\frac{π}{4}$）+cosα，然后，结合导数判断函数的单调性，求解最大值即可；
（2）直接结合已知条件进行求解即可．

解答 解：（1）f（x）=$\sqrt{2}$sin2xcosα+$\sqrt{2}$cos2xsinα-$\sqrt{2}$cos（2x+α）+cosα，x∈R．
=$\sqrt{2}$sin（2x+α）-$\sqrt{2}$cos（2x+α）+cosα，x∈R．
=2sin（2x+α-$\frac{π}{4}$）+cosα
∴f（x）=2sin（2x+α-$\frac{π}{4}$）+cosα，
∵f′（x）=4cos（2x+$α-\frac{π}{4}$），
当x∈[0，$\frac{π}{2}$]，α∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]时，2x+α-$\frac{π}{4}$∈[0，$\frac{5π}{4}$]，
显然，2x+α-$\frac{π}{4}$∈[0，$\frac{π}{2}$]，f′（x）≥0，函数单调递增；
2x+α-$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{2}$，$\frac{5π}{4}$]，f′（x）≤0，函数单调递减；
则函数在2x+α-$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$时，即x=$\frac{3π}{8}$-$\frac{α}{2}$时，取得最大值；
f（$\frac{3π}{8}$-$\frac{α}{2}$）=2sin[2（$\frac{3π}{8}$-$\frac{α}{2}$）+α-$\frac{π}{4}$]+cosα
=2+cosα，
∴f（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值2+cosα．
（2）根据（1）得
f（x）=2sin（2x+α-$\frac{π}{4}$）+cosα，
∵f（x）=3，
∴sin（2x+α-$\frac{π}{4}$）=1，cosα=1，
∴α=2kπ，k∈Z，
2x-$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$+2kπ，
∴x=$\frac{3π}{8}$+kπ，k∈Z．

点评 本题重点考查了三角函数的图象与性质、三角函数的最值、辅助角公式等知识，属于中档题．