Question

【题目】已知定义在R上的奇函数f（x），若函数f（x+1）为偶函数，且f（1）=1，则f（i）=______．

Answer 1

【答案】1

【解析】

因为函数f（x+1）为偶函数，所以f（x）的对称轴为x=1，再有奇函数性质得周期为4，找出一个周期的f（i）取值，进而求得．

因为函数f（x+1）为偶函数，所以f（x+1）的对称轴为x=0，

所以f（x）的对称轴为x=1，所以f（x+1）=f（1-x），

又因为f（x）是R上的奇函数，所以f（x+1）=f（1-x）=-f（x-1），

所以f（x+2）=-f（x），f（x+4）=-f（x+2）=f（x），所以f（x）的周期为4，

且f（1）=1，f（2）=f（-2）=-f（2），

所以f（2）=0，f（3）=f（-1）=-1，f（4）=f（0）=0，

=504×[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（1）+f（2）=1，

故答案为：1．