Question

定义：两个连续函数f（x），g（x）在闭区间[a，b]上都有意义，我们称函数|f（x）-g（x）|在[a，b]上的最大值叫做函数f（x）与g（x）在[a，b]上的绝对值差．
（1）求两连续函数f（x）=2x³+x-5与g（x）=x³-2x²+5x-10在闭区间[-3，2]上的绝对差；
（2）若两连续函数f（x）=ln（x²+1）+2k与g（x）=x+k在闭区间[-1，1]上绝对差为2，求k的值．

Answer 1

分析：（1）根据定义，构造新函数F（x）=f（x）-g（x）=x³+2x²-4x+5利用导数求出函数的单调区间，判断出函数在闭区间[-3，2]上的最大值与最小值，取其绝对值较大者即为要求的绝对值差．
（2）本题已知绝对值差是2，故要利用导数求出F（x）=f（x）-g（x）=ln（x²+1）+2k-x-k=ln（x²+1）-x+k的最大值与最小值，由于不知那一个的绝对值最大，故可以讨论在那个端点处取到绝对值差，建立方程，求出参数的值即可．

解答：解：（1）令F（x）=f（x）-g（x）=2x³+x-5-（x³-2x²+5x-10）=x³+2x²-4x+5
F'（x）=3x²+4x+4=（3x-2）（x+2）
令F'（x）=0得x=-2，或x=

2

3

令F'（x）＞0得x＞

2

3

或x＜-2，
令F'（x）＜0得-2＜x＜

2

3

故F（x）在（-3，-2）上增，在（-2，

2

3

）上减，在（

2

3

，2）增
又F（-3）=8，F（-2）=13，F（

2

3

）=

95

27

，F（2）=13
∴绝对差等于13
（2）令F（x）=f（x）-g（x）=ln（x²+1）+2k-x-k=ln（x²+1）-x+k
∴F'（x）=

2x

x2+1

-1=

-(x-1)2

x2+1

≤0
F（x）闭区间[-1，1]上是减函数，故F（1）≤F（x）≤F（-1）
故ln2+1+k=2或ln2-1+k=-2
解得k=1-ln2，或k=-1-ln2

点评：本题考点是利用导数研究函数的极值，本题出题方式新颖，组合思路巧妙，考查了对新定义的理解能力与利用导数求最值的能力．