Question

已知函数f（x）=2x²+（a-1）x+1
（1）若a=-1，用定义法证明：函数f（x）在区间（-∞，-1）上为减函数；
（2）若函数f（x）在区间（1，+∞）上为增函数，求f（-1）的范围．

Answer 1

分析：（1）当a=-1时，利用定义法证明：函数f（x）在区间（-∞，-1）上为减函数；
（2）利用函数f（x）在区间（1，+∞）上为增函数，确定函数的对称轴和1的关系，然后求出f（-1）的取值范围．

解答：解：（1）当a=-1时，f（x）=2x²+（a-1）x+1=2x²-2x+1
任意设x₁＜x₂＜-1，
则f(x1)-f(x2)=2

x

2 1

-2x1+1-(2

x

2 2

-2x2+1)=2（x₁-x₂）（x₁+x₂-1），
∵x₁＜x₂＜-1，
∴x₁-x₂＜0，x₁+x₂-1＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴函数f（x）在区间（-∞，-1）上为减函数．
（2）∵二次函数f（x）=2x²+（a-1）x+1的对称轴为x=-

a-1

2×2

=-

a-1

4

，
函数f（x）在[-

a-1

4

，+∞）上单调递增，
∴函数f（x）在区间（1，+∞）上为增函数，
则对称轴-

a-1

4

≤1，解得a≥-3，
∴-a≤3．
而f（-1）=2-（a-1）+1=4-a=4+（-a）≤4+3=7，
即f（-1）的取值范围是f（-1）≤7，即（-∞，7]．

点评：本题主要考查利用定义法证明函数的单调性，以及二次函数的图象和性质，利用二次函数单调性由对称轴决定，从而得到对称轴与已知区间的关系是解决本题的关键．