Question

数列{a_n}满足a₁=1，且对于任意的n∈N^*都a_n+1=a₁+a_n+n，则

1

a1

+

1

a2

+…+

1

a2013

=（　　）

• A、

  2012

  2013

• B、

  4026

  2014

• C、

  4024

  2014

• D、

  2013

  2014

Answer 1

考点：数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：对于任意的n∈N^*都a_n+1=a₁+a_n+n，可得a_n+1-a_n=n+1，利用“累加求和”可得a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁=

n(n+1)

2

．于是

1

an

=2(

1

n

-

1

n+1

)．再利用“裂项求和”即可得出．

解答： 解：∵对于任意的n∈N^*都a_n+1=a₁+a_n+n，
∴a_n+1-a_n=n+1，
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=n+（n-1）+…+2+1
=

n(n+1)

2

．
∴

1

an

=

2

n(n+1)

=2(

1

n

-

1

n+1

)．
∴

1

a1

+

1

a2

+…+

1

a2013

=2[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

2013

-

1

2014

)]
=2(1-

1

2014

)
=

4026

2014

．
故选：B．

点评：本题考查了“累加求和”、“裂项求和”方法、等差数列的前n项和公式，考查了计算能力，属于中档题．