Question

已知A，B为两个定点，动点M到A与B的距离比为常数λ，求点M的轨迹方程，并注明轨迹是什么曲线．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：计算题,直线与圆

分析：设点M（x，y）是曲线上的任意一点，欲求出动点M的轨迹方程，只须求出x，y的关系式即可，结合距离的比，用坐标来表示距离，利用两点间的距离公式化简即可求得点P的轨迹方程．

解答： 解：建立坐标系如图所示，设|AB|=2a，则A（-a，0），B（a，0）．设M（x，y）是轨迹上任意一点．
则由题设，得

|MA|

|MB|

=λ，坐标代入，得

(x+a)2+y2

(x-a)2+y2

=λ，化简得
（1-λ²）x²+（1-λ²）y²+2a（1+λ²）x+（1-λ²）a²=0
（1）当λ=1时，即|MA|=|MB|时，点M的轨迹方程是x=0，点M的轨迹是直线（y轴）．
（2）当λ≠1时，点M的轨迹方程是x²+y²+

2a(1+λ2)

1-λ2

x+a²=0，点M的轨迹是以（-

a(1+λ2)

1-λ2

，0）为圆心，

2aλ

|1-λ2|

为半径的圆．

点评：本题考查轨迹方程，利用的是直接法，直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程．