Question

总周长为12m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的相邻两边长之比为1：2，那么容器容积最大时，长方体的高为（　　）

• A、2m
• B、1m
• C、1.6m
• D、3m

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：设长方体的宽为xm，则长为2xm，高为（3-3x）m，易求x的范围，则长方体的容积为V（x）=2x²（3-3x）=6x²（1-x）（0＜x＜1），利用导数可求得函数的极大值，可判断即为最大值．

解答： 解：设长方体的宽为xm，则长为2xm，高为（3-3x）m，0＜x＜1，
故长方体的容积为V（x）=2x²（3-3x）=6x²（1-x）（0＜x＜1），
从而V′（x）=6x（2-3x），
令V′（x）=0，解得x=

2

3

或x=0 （舍去），
当0＜x＜

2

3

时，V′（x）＞0；当1＜x＜

2

3

时，V′（x）＜0，
故在x=

2

3

处V（x）取得极大值，并且这个极大值就是V（x）的最大值，
从而此时容器的高为1m．
故选：B．

点评：本题考查利用导数研究实际问题中函数的最值问题，根据已知条件正确表示出目标函数是解题关键，注意函数的定义域要考虑实际意义．