Question

已知函数y=f（x）=（a，b，c∈Z）是奇函数，且f（1）=2，f（2）＜3．
（1）求f（x）的解析式；
（2）证明：f（x）在（0，1）上为减函数．

Answer 1

（1）解：因为f（x）是奇函数，
所以f（-x）=-f（x），即=-，化简得bx+c=bx-c，解得c=0，
又f（1）=2，所以a+1=2b①，因为f（2）＜3，所以②，
将①代入②并整理得，解得0＜b＜，
因为b∈z，所以b=1，从而a=1，
所以f（x）=；
（2）证明：由（1）得f（x）==x+，
设0＜x₁＜x₂＜1，则f（x₁）-f（x₂）=（）-（）=，
因为0＜x₁＜x₂＜1，
所以x₁-x₂＜0，0＜x₁x₂＜1，＞0，
所以f（x₁）＞f（x₂），
所以f（x）在（0，1）上为减函数．
分析：（1）由奇函数定义可得f（-x）=-f（x），根据该恒等式可求得c，由f（1）=2及f（2）＜3可得b的范围，又b∈Z可求b值，进而得a；
（2）定义法，设0＜x₁＜x₂＜1，只需通过作差证明f（x₁）＞f（x₂）；
点评：本题考查函数的奇偶性、单调性的判断证明，属基础题，定义是解决问题的基础..