Question

6．已知函数f（x）=x²+（a-1）x+4，g（x）=x²+（a+1）x+a+4，若不存在实数x₀，使得$\left\{\begin{array}{l}f（{x_0}）＜0\\ g（{x_0}）＜0\end{array}\right.$，则实数a的取值范围为$[{1-\sqrt{17}，1+\sqrt{17}}]$．

Answer 1

分析 求出两个函数的对称轴，通过判别式，结合已知条件列出不等式，求解即可．

解答 解：函数f（x）=x²+（a-1）x+4，的对称轴为：x=$\frac{1-a}{2}$；△₁=（a-1）²-16，
g（x）=x²+（a+1）x+a+4，的对称轴为：x=$\frac{-1-a}{2}$；△₂=（a+1）²-4a-16=（a-1）²-16，
两个函数的开口向上，并且△₁=△₂；当a∈[-3，5]时，△₁=△₂≤0，满足题意；
当a＜-3或a＞5时，x²+（a-1）x+4=0的小根：x=$\frac{1-a-\sqrt{（a-1）^{2}-16}}{2}$；
x²+（a+1）x+a+4的大根为：x=$\frac{-1-a+\sqrt{（a-1）^{2}-16}}{2}$；
若不存在实数x₀，使得$\left\{\begin{array}{l}f（{x_0}）＜0\\ g（{x_0}）＜0\end{array}\right.$，
可得：$\frac{1-a-\sqrt{（a-1）^{2}-16}}{2}$≥$\frac{-1-a+\sqrt{（a-1）^{2}-16}}{2}$；
可得1-$\sqrt{17}$≤a＜-3或5＜a≤1+$\sqrt{17}$
综上a∈$[{1-\sqrt{17}，1+\sqrt{17}}]$．
故答案为：$[{1-\sqrt{17}，1+\sqrt{17}}]$．

点评 本题考查二次函数的简单性质的应用，函数恒成立，考查分类讨论思想的应用，难度比较大．