Question

18．（1）已知tan（α+β）=$\frac{2}{5}$，tan（β-$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{4}$，求$\frac{cosα+sinα}{cosα-sinα}$的值；
（2）已知β，β均为锐角，且cos（α+β）=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，sin（α-β）=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，求β．

Answer 1

分析 （1）利用tan（α+β）=$\frac{2}{5}$，tan（β-$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{4}$，构造tanα，求出其值，可求解$\frac{cosα+sinα}{cosα-sinα}$的值．
（2）α，β均为锐角，根据cos（α+β）=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，sin（α-β）=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，确定（α+β）和（α-β）的范围，构造sin2β或cos2β求解．

解答 解：（1）由题意：tan（α+β）=$\frac{2}{5}$，tan（β-$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{4}$
那么：tan（$α+\frac{π}{4}$）=tan[（α+β）-（β-$\frac{π}{4}$）]=$\frac{tan（α+β）-tan（β-\frac{π}{4}）}{1+tan（α+β）tan（β-\frac{π}{4}）}$=$\frac{\frac{2}{5}-\frac{1}{4}}{1+\frac{2}{5}}=\frac{3}{22}$，
即：tan（$α+\frac{π}{4}$）=$\frac{tana+1}{1-tanα}$=$\frac{3}{22}$，
∴$\frac{cosα+sinα}{cosα-sinα}$=$\frac{\frac{cosα+sinα}{cosα}}{\frac{cosα-sinα}{cosα}}$=$\frac{1+tanα}{1-tanα}$=$\frac{3}{22}$．
（2）∵α，β均为锐角，
∴0＜α+β＜π，$-\frac{π}{2}＜a-β＜\frac{π}{2}$，
又∵cos（α+β）=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，sin（α-β）=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴0＜α+β＜$\frac{π}{2}$，$0＜α-β＜\frac{π}{2}$
∴sin（α+β）=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，cos（α-β）=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$
cos2β=cos[（α+β）-（α-β）]=$\frac{3\sqrt{10}}{10}×\frac{\sqrt{5}}{5}+\frac{\sqrt{10}}{10}×\frac{2\sqrt{5}}{5}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
∵β均为锐角，
∴0＜2β＜π，
∴2β=$\frac{π}{4}$，
故得：β=$\frac{π}{8}$．

点评 本题主要考察了同角三角函数关系式和万能公式的应用，构造思想，构造出需要的角或者值出来．同时注意角的取值范围．属于中档题．