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有一正三棱锥和一个正四棱锥,它们的所有棱长都相等,把正三棱锥和正四棱锥的一个全等的面重合.
①说明组合体是什么样的几何体?
②证明你的结论.

解:(1)如图所示,是斜三棱柱.
(2)正三棱锥为S-AED,正四棱锥为S-ABCD,
重合的面为△ASD,
如图所示,设AD,BC中点分别为M、N,
由AD⊥平面MNS知平面MES重合;
∵SE=AB=MN,EM=SN,
∴MNSE为平行四边行.
∴ESMN,又ABMN,
∴ESAB,
∴四边形ABSE
为平行四边形,CDES为平行四边形.
∴面SBC∥面EAD,
AB∥CD∥SE,且AB不垂
直平面SBC
∴组合体为斜三棱柱.
分析:先画出几何体来,由正三棱锥和正四棱锥,它们的所有棱长都相等推知各个面都是正三角形,再由内错角相等可分别证得侧棱平行,由面与面平行的判断定理可证得两个面平面,由斜三棱柱的结构特征得到结论.
点评:本题主要考查空间几何体的结构特征及其内在联系.
练习册系列答案
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(本小题满分14分)

如图,P-ABC是底面边长为1的正三棱锥,D、E、F分别为棱长PA、PB、PC上的点, 截面DEF∥底面ABC, 且棱台DEF-ABC与棱锥P-ABC的棱长和相等.(棱长和是指多面体中所有棱的长度之和)

(1)求证:P-ABC为正四面体;

(2)棱PA上是否存在一点M,使得BM与面ABC所成的角为45°?若存在,求出点M的位置;若不存在,请说明理由。

(3)设棱台DEF-ABC的体积为V=, 是否存在体积为V且各棱长均相等的平行六面体,使得它与棱台DEF-ABC有相同的棱长和,并且该平行六面体的一条侧棱与底面两条棱所成的角均为60°? 若存在,请具体构造出这样的一个平行六面体,并给出证明;若不存在,请说明理由.

 

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正三棱锥内有一个内切球,经过棱锥的一条侧棱和高作截面,正确的图是  (   )

 

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