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已知(1+3x2n的展开式中,各项系数和为An,二项式系数和为Bn,设An-Bn=992.
(1)求n的值;(2)求展开式中二项式系数最大的项;(3)求展开式中系数最大的项.

解(1)令x=1,则展开式中各项系数和为An=(1+3)n=22n,…(2分)
二项式系数和为Bn=Cn0+Cn1+…+Cnn=2n,…(4分)
则An-Bn=22n-2n=992,解得n=5.…(6分)
(2)因为n=5,展开式共6项,二项式系数最大的项为第三、四两项,
所以T3=C52(3x22=90x4,T4=C53(3x23=270x6.…(10分)
(3)设展开式中第r+1项系数最大,则Tr+1=C5r(3x2r=3rC5rx2r
依题意,,解得,故r=4.…(13分)
即展开式中第5项系数最大,T5=C54(3x24=405x8.…(14分)
解法二:(1+3x25=1+3C51x2+9C52x4+27C53x6+81C54x8+243C55x10=1+15x2+90x4+270x6+405x8+243x10
即展开式中第5项系数最大,T5=405x8.…(14分)
分析:(1)由题意,可令x=1解出各项系数和为An,再由二项式系数和公式求出二项式系数和为Bn,代入An-Bn=992,解可解出n的值.
(2)由(1)n=5,可得展开式中二项式系数最大的项是第三,四两项,由项的公式求出此二项即可;
(3)法一:由题意Tr+1=C5r(3x2r=3rC5rx2r,由此知,展开式中系数最大的项必满足,由此不等式组解出r的取值范围,判断出它的值.
法二:展开二项式,化简各项的系数,得:(1+3x25=1+3C51x2+9C52x4+27C53x6+81C54x8+243C55x10=1+15x2+90x4+270x6+405x8+243x10,观察即可得出最大项
点评:本题考点是二项式系数的性质,考查了二项式系数和的求法与二项式各项系数和的求法,二项式项的展开式,解题的关键是理解二项式系数与项的系数概念,掌握二工项的展开式公式,本题的难点是第三小题的求解,理解最大项的意义是解题的切入点,法一用的是项最大的意义,法二是求出各项的值,从而比较系数得出结论,法一偏重于逻辑推理,法二偏重于计算,可根据具体情况选择合适的方法
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