Question

已知（1+3x²）ⁿ的展开式中，各项系数和为A_n，二项式系数和为B_n，设A_n-B_n=992．
（1）求n的值；（2）求展开式中二项式系数最大的项；（3）求展开式中系数最大的项．

Answer 1

解（1）令x=1，则展开式中各项系数和为A_n=（1+3）ⁿ=2²ⁿ，…（2分）
二项式系数和为B_n=C_n⁰+C_n¹+…+C_nⁿ=2ⁿ，…（4分）
则A_n-B_n=2²ⁿ-2ⁿ=992，解得n=5．…（6分）
（2）因为n=5，展开式共6项，二项式系数最大的项为第三、四两项，
所以T₃=C₅²（3x²）²=90x⁴，T₄=C₅³（3x²）³=270x⁶．…（10分）
（3）设展开式中第r+1项系数最大，则T_r+1=C₅^r（3x²）^r=3^rC₅^rx^2r，
依题意，

3r C r5 ≥3r-1 C r-15 3r C r5 ≥3r+1 C r+15

，解得

7

2

≤r≤

9

2

，故r=4．…（13分）
即展开式中第5项系数最大，T₅=C₅⁴（3x²）⁴=405x⁸．…（14分）
解法二：（1+3x²）⁵=1+3C₅¹x²+9C₅²x⁴+27C₅³x⁶+81C₅⁴x⁸+243C₅⁵x¹⁰=1+15x²+90x⁴+270x⁶+405x⁸+243x¹⁰，
即展开式中第5项系数最大，T₅=405x⁸．…（14分）