Question

已知二次函数f（t）=at²-

b

t+

1

4a

（t∈R）有最大值且最大值为正实数，集合A=

x/ x-a x ＜0

，集合B=

x/x2＜b2

．
（1）求A和B；
（2）定义A与B的差集：A-B=

x/x∈A

且x∉B．且x∈A．P（E）为x取自A-B的概率．P（F）为x取自A/B的概率．解答下面问题：
①当a=-3，b=2时，求P（E），P（F）取值？
②设a，b，x均为整数时，写出a与b的三组值，使P（E）=

2

3

，P（F）=

1

3

．

Answer 1

分析：（1）先函数f（t）进行配方，根据函数f（t）的最大值为正实数可确定b的范围，然后分别求出集合A和集合B即可；
（2）①P(E)=

1

3

；P（F）=

2

3

②要使P(E)=

2

3

，P（F）=

1

3

．可以分三种情形考虑：A中有3个元素，A-B中有2个元素，A∩B中有1个元素；A中有6个元素，A-B中有4个元素，A∩B中有2个元素；A中有9个元素，A-B中有6个元素，A∩B中有3个元素，分别求得a，b即可．

解答：解：（1）∵f(t)=at2-

b

t+

1

4a

(t∈R)，
配方得 f(t)=a(t-

b

2a

)2+

1-b

4b

，
由a＜0得最大值

1-b

4a

＞0?b＞1．
∴A={x|a＜x＜0}，B={x|-b＜x＜b}．
（2）①P(E)=

1

3

；P（F）=

2

3

②要使P(E)=

2

3

，P（F）=

1

3

．可以使：
A中有3个元素，A-B中有2个元素，A∩B中有1个元素．a=-4，b=2．
A中有6个元素，A-B中有4个元素，A∩B中有2个元素．则a=-7，b=3．
A中有9个元素，A-B中有6个元素，A∩B中有3个元素．则a=-10，b=4．

点评：本题主要考查了函数的最值及其几何意义，以及分段函数和古典概型及其概率计算公式，属于基础题．