Question

2．已知{a_n}是一个等差数列，{a_n}的前n项和记为S_n，a₁=4，S₃=21
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}满足b₁=$\frac{16}{7}$，b_n+1-b_n=2${\;}^{{a}_{n}}$，求数列{b_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）设数列{a_n}的公差为d，由已知得3×4+$\frac{3×2}{2}$•d=21，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由b_n+1-b_n=2${\;}^{{a}_{n}}$=2³ⁿ⁺¹，由此利用叠加法能求出数列{b_n}的通项公式．

解答 解：（1）设数列{a_n}的公差为d，由已知得3×4+$\frac{3×2}{2}$•d=21…（3分）
解得d=3…（4分），
{a_n}的通项公式为a_n=3n+1…（5分）
（2）由（1）得b_n+1-b_n=2${\;}^{{a}_{n}}$=2³ⁿ⁺¹…（6分）
当n≥2时，b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁，…（8分）
∴b_n=2^3n-2+2^3n-5+…+2⁴+$\frac{16}{7}$=$\frac{{2}^{4}[1-{2}^{3（n-1）}]}{1-{2}^{3}}$+$\frac{16}{7}$=$\frac{1}{7}$×2³ⁿ⁺¹（n≥2）…（11分）
∵b₁=$\frac{16}{7}$满足b_n=$\frac{1}{7}$×2³ⁿ⁺¹，
∴b_n=$\frac{1}{7}$×2³ⁿ⁺¹，n∈N⁺…（12分）

点评 本题考查数列的通项公式的求法，解题时要认真审题，注意迭代法和叠加法的合理运用．