Question

16．如图所示，M、N、P分别是正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱AB、BC、DD₁上的点．
（Ⅰ）若$\frac{BM}{MA}$=$\frac{BN}{NC}$，求证：无论点P在DD₁上如何移动，总有BP⊥MN；
（Ⅱ）棱DD₁上是否存在这样的点P，使得平面APC₁⊥平面A₁ACC₁？证明你的结论．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明BD⊥AC．BD⊥MN．通过直线与平面垂直的判定定理证明MN⊥平面BDD₁．然后说明MN⊥BP．
（Ⅱ）存在点P，且P为DD₁的中点，使得平面APC₁⊥平面ACC₁．证明BD⊥平面ACC₁．取BD₁的中点E，连接PE，
推出PE⊥面ACC₁．然后证明面APC₁⊥面ACC₁．

解答 解：（Ⅰ）如图所示，连接B₁M、B₁N、AC、BD，则BD⊥AC．

∵$\frac{BM}{MA}$=$\frac{BN}{NC}$，∴MN∥AC．
∴BD⊥MN．
∵DD₁⊥平面ABCD，MN?面ABCD，∴DD₁⊥MN．
∴MN⊥平面BDD₁．
∵无论P在DD₁上如何移动，总有BP?平面BDD₁，故总有MN⊥BP．
（Ⅱ）存在点P，且P为DD₁的中点，使得平面APC₁⊥平面ACC₁．

∵BD⊥AC，BD⊥CC₁，
∴BD⊥平面ACC₁．
取BD₁的中点E，连接PE，
则PE∥BD．∴PE⊥面ACC₁．
又∵PE?面APC₁，
∴面APC₁⊥面ACC₁．

点评 本题考查直线与平面垂直的判定定理以及性质定理的应用，平面与平面垂直的判定定理的应用，考查逻辑推理能力．