Question

1．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，一条准线方程为x=$\frac{8}{3}$$\sqrt{3}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P（8，0），M，N是椭圆C上关于x轴对称的两个不同的点，连结PN交椭圆C于另一点E，求证：直线ME与x轴相交于定点．

Answer 1

分析 （1）由题意得$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{\frac{{a}^{2}}{c}=\frac{8\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$，从而解椭圆的方程；
（2）由题意作图辅助，设点N（x₁，y₁），E（x₂，y₂）则M（x₁，-y₁），设直线PN：y=kx-8k，从而联立化简可得（4k²+1）x²-64k²x+256k²-16=0，从而可得x₁+x₂=$\frac{64{k}^{2}}{4{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{256{k}^{2}-16}{4{k}^{2}+1}$；假设存在定点D（d，0），从而可得$\frac{0+{y}_{1}}{{y}_{2}+{y}_{1}}$=$\frac{d-{x}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$，从而化简d=$\frac{{y}_{1}（{x}_{2}-{x}_{1}）}{{y}_{2}+{y}_{1}}$+x₁=$\frac{2{x}_{1}{x}_{2}-8（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}+{x}_{2}-16}$=$\frac{2\frac{256{k}^{2}-16}{4{k}^{2}+1}-8\frac{64{k}^{2}}{4{k}^{2}+1}}{\frac{64{k}^{2}}{4{k}^{2}+1}-16}$=2．

解答 解：（1）由题意得，
$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{\frac{{a}^{2}}{c}=\frac{8\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$，
解得，a=4，c=2$\sqrt{3}$，故b=2；
故椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（2）证明：由题意作图象右图，
设点N（x₁，y₁），E（x₂，y₂）则M（x₁，-y₁），
易知直线PN的斜率存在，设直线PN：y=kx-8k，
联立方程得，
$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-8k}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，
化简可得，（4k²+1）x²-64k²x+256k²-16=0，
故x₁+x₂=$\frac{64{k}^{2}}{4{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{256{k}^{2}-16}{4{k}^{2}+1}$；
假设存在定点D（d，0），
则$\frac{0+{y}_{1}}{{y}_{2}+{y}_{1}}$=$\frac{d-{x}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$，
即，d=$\frac{{y}_{1}（{x}_{2}-{x}_{1}）}{{y}_{2}+{y}_{1}}$+x₁
=$\frac{k（{x}_{1}-8）（{x}_{2}-{x}_{1}）}{k（{x}_{2}-8）+k（{x}_{1}-8）}$+x₁
=$\frac{{x}_{1}{x}_{2}-{{x}_{1}}^{2}-8{x}_{2}+8{x}_{1}+{{x}_{1}}^{2}+{x}_{1}{x}_{2}-16{x}_{1}}{{x}_{1}+{x}_{2}-16}$
=$\frac{2{x}_{1}{x}_{2}-8（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}+{x}_{2}-16}$
=$\frac{2\frac{256{k}^{2}-16}{4{k}^{2}+1}-8\frac{64{k}^{2}}{4{k}^{2}+1}}{\frac{64{k}^{2}}{4{k}^{2}+1}-16}$=2；
故直线ME与x轴相交于定点（2，0）．

点评 本题考查了直线与椭圆的位置关系的应用及数形结合的思想应用，关键在于化简运算．