Question

10．已知椭圆C方程$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$，设P为椭圆上任意一点，定点A（0，3），求|PA|的最大值．

Answer 1

分析 设P（x，y），代入椭圆方程可得x²=16$（1-\frac{{y}^{2}}{4}）$．可得|PA|²=x²+（y-3）²=-3（y+1）²+28，利用二次函数的单调性即可得出．

解答 解：设P（x，y），则$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$，可得x²=16$（1-\frac{{y}^{2}}{4}）$．
∴|PA|²=x²+（y-3）²=16$（1-\frac{{y}^{2}}{4}）$+（y-3）²=-3y²-6y+25=-3（y+1）²+28，
∵-2≤y≤2，
∴y=-1，x=±2$\sqrt{3}$时，|PA|²取得最大值28，
即|PA|的最大值为2$\sqrt{7}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、二次函数的单调性、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．