Question

13．在平面直角坐标系XOY中，点集K={（x，y）|（|x|+2|y|-4）（2|x|+|y|-4）≤0}所对应的平面区域的面积为$\frac{32}{3}$．

Answer 1

分析 利用不等式对应区域的对称性求出在第一象限的面积，乘以4得答案．

解答 解：∵（|x|+2|y|-4）（2|x|+|y|-4）≤0对应的区域关于原点对称，x轴对称，y轴对称，
∴只要作出在第一象限的区域即可．
当x≥0，y≥0时，
不等式等价为|（x+2y-4）（2x+y-4）≤0，
即$\left\{\begin{array}{l}{x+2y-4≥0}\\{2x+y-4≤0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x+2y-4≤0}\\{2x+y-4≥0}\end{array}\right.$，
在第一象限内对应的图象为，
则A（2，0），B（4，0），
由$\left\{\begin{array}{l}{x+2y-4=0}\\{2x+y-4=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4}{3}}\\{y=\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，即C（$\frac{4}{3}，\frac{4}{3}$），
则三角形ABC的面积S=$\frac{1}{2}$×2×$\frac{4}{3}$=$\frac{4}{3}$，则在第一象限的面积S=2×$\frac{4}{3}$=$\frac{8}{3}$，
则点集K对应的区域总面积S=4×$\frac{8}{3}$=$\frac{32}{3}$．
故答案为：$\frac{32}{3}$．

点评 本题考查简单的线性规划，主要考查区域面积的计算，利用二元一次不等式组表示平面区域的对称性是解决本题的关键，是中档题．