【题目】定义:若函数在区间上的值域为,则称区间是函数的“完美区间”,另外,定义区间的“复区间长度”为,已知函数,则( )
A.是的一个“完美区间”
B.是的一个“完美区间”
C.的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为
D.的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为
【答案】AC
【解析】
根据定义,当时求得的值域,即可判断A;对于B,结合函数值域特点即可判断;对于C、D,讨论与两种情况,分别结合定义求得“复区间长度”,即可判断选项.
对于A,当时,,则其值域为,满足定义域与值域的范围相同,因而满足“完美区间”定义,所以A正确;
对于B,因为函数,所以其值域为,而,所以不存在定义域与值域范围相同情况,所以B错误;
对于C,由定义域为,可知,
当时,,此时,所以在内单调递减,
则满足,化简可得,
即,所以或,
解得(舍)或,
由解得或(舍),
所以,经检验满足原方程组,所以此时完美区间为,则“复区间长度”为;
当时,①若,则,此时.当在的值域为,则,因为 ,所以,即满足,解得,(舍).所以此时完美区间为,则“复区间长度”为;
②若,则,,此时在内单调递增,若的值域为,则,则为方程的两个不等式实数根,
解得,, 所以,与矛盾,所以此时不存在完美区间.
综上可知,函数的“复区间长度”的和为,所以C正确,D错误;
故选:AC.
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【题目】在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),在以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,直线的极坐标方程为.
(1)若直线与曲线至多只有一个公共点,求实数的取值范围;
(2)若直线与曲线相交于,两点,且,的中点为,求点的轨迹方程.
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【题目】在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为为参数),在以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,点的极坐标为,直线的极坐标方程为.
(1)求直线的直角坐标方程与曲线的普通方程;
(2)若是曲线上的动点,为线段的中点,求点到直线的距离的最大值.
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【题目】已知椭圆E:()的焦距为,直线:与x轴的交点为G,过点且不与x轴重合的直线交E于点A,B.当垂直x轴时,的面积为.
(1)求E的方程;
(2)若,垂足为C,直线交x轴于点D,证明:.
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【题目】如图,在中,,,,将绕边AB翻转至,使面面ABC,D是BC的中点,设Q是线段PA上的动点,则当PC与DQ所成角取得最小值时,线段AQ的长度为( )
A.B.C.D.
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【题目】一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用,从孩子一周岁生日开始,每年到银行储蓄元一年定期,若年利率为保持不变,且每年到期时存款(含利息)自动转为新的一年定期,当孩子18岁生日时不再存入,将所有存款(含利息)全部取回,则取回的钱的总数为
A.B.
C.D.
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