Question

（2010•广东模拟）过点P（-3，0）的直线l与双曲线

x2

16

-

y2

9

=1交于点A，B，设直线l的斜率为k₁（k₁≠0），弦AB的中点为M，OM的斜率为k₂（O为坐标原点），则k₁•k₂=（　　）

• A．

  9

  16

• B．

  3

  4

• C．

  16

  9

• D．16

Answer 1

分析：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀），则

x12

16

-

y12

9

=1①，

x22

16

-

y22

9

=1②，①-②⇒k₁•

y0

x0

=

9

16

，又k₂=

y0-0

x0-0

=

y0

x0

，k₁•k₂可解决．

解答：解：∵点P（-3，0）的直线l与双曲线

x2

16

-

y2

9

=1交于点A，B，直线l的斜率为k₁（k₁≠0），
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则k₁=

y2-y1

x2-x1

，

x12 16 - y12 9 =1① x22 16 - y22 9 =1②

，①-②得：

x12-x22

16

-

y12-y22

9

=0，即

(x1+x2)(x1-x2)

16

-

(y1+y2)(y1-y2)

9

=0③；
设AB的中点M（x₀，y₀），则x₁+x₂=2x₀，y₁+y₂=2y₀，
又k₁=

y2-y1

x2-x1

，代入③得：

9

16

=k1•

y0

x0

，又k₂=

y0-0

x0-0

=

y0

x0

，
∴k₁•k₂=

9

16

．
故选A．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的关系，关键在于点差法的灵活运用，着重考查学生综合分析与转化的能力，属于中档题．