Question

在O为坐标原点的直角坐标系中，点A（4，-3）为△OAB的直角顶点．已知|

AB

|=2|

OA

|且点B的纵坐标大于零．
（1）求圆x²-6x+y²+2y=0关于直线OB对称的圆的方程；
（2）设直线l平行于直线AB且过点（0，a），问是否存在实数a，使得椭圆

x2

16

+y2=1上有两个不同的点关于直线l对称，若不存在，请说明理由；若存在，请求出实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先利用条件求点B的坐标以及直线OB的方程，再利用关于直线对称的圆的方程的求法即可求出圆x²-6x+y²+2y=0关于直线OB对称的圆的方程；
（2）先求出直线l的方程以及关于直线l对称的两点的坐标和直线l的方程之间的关系，再利用判别式的范围来求实数a的取值范围．

解答：解：（1）设点B为（x，y），因为点A（4，-3）为△OAB的直角顶点和|

AB

|=2|

OA

|．
所以OA⊥AB且|OB|=

5

|OA|?

4(x-4)-3(y+3)=0 x2+y2=125

?

x=10 y=5

（因点B的纵坐标大于零另一组舍去）
所以直线OB的方程为y=

1

2

x．
又圆x²-6x+y²+2y=0?（x-3）²+（y+1）²=10．
圆心（3，-1）关于直线OB的对称点为（1，3）．
所以圆x²-6x+y²+2y=0关于直线OB对称的圆的方程为（x-1）²+（y-3）²=10．
（2）因为k_AB=

4

3

，所以直线l的方程为y=

4

3

x+a．
则椭圆

x2

16

+y2=1上关于直线l对称的两个不同的点M（m，n），N（b，c）在直线y=-

3

4

x+d上，
由

y=- 3 4 x+d x2 16 +y2=1

?

5

8

x2-

3

2

xd+d²-1=0．△=(-

3

2

d)2-4×

5

8

×(d2-1)＞0?d²＜10①．
且m+b=

12

5

d，所以c+n=-

3

4

（m+b）+2d=

1

5

d，
所以M，N的中点为（

6

5

d，

1

10

d）在y=

4

3

x+a上．
解得d=-

2

3

a代入①?-

3

2

10

＜a＜

3

2

10

．
故存在满足题意的实数a，其取值范围为a∈(-

3

2

10

，

3

2

10

)．

点评：在圆锥曲线的综合大题中，主要考查解析几何的有关知识，以及分析问题与解决问题的能力．值得引起重视的一个现象是，经常出现一条或几条直线与两种圆锥曲线（包括圆）的位置关系问题，同时要注意其与平面几何、平面向量以及导数的知识的综合命题．