Question

已知函数f（x）是R上偶函数，对于x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，f（x）在区间[0，3]上是增函数，则f（x）在[-9，9]上零点个数是（　　）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

Answer 1

分析：由题意令x=-3，可得f（-3）=0，进而可得f（3）=0，代入可得f（x）是以6为周期的函数，结合单调性可作出函数的大致图象，易得零点的个数．

解答：解：在f（x+6）=f（x）+f（3）中，令x=-3可得，f（3）=f（-3）+f（3），即f（-3）=0，
由函数y=f（x）是R上偶函数，可得f（x+6）=f（x）+f（3）=f（x）+f（-3）=f（x），即f（x）是以6为周期的函数，
又由函数y=f（x）是R上偶函数，f（x）在[0，3]上为单调增函数，则f（x）在[-3，0]上为减函数，
由以上性质可作出函数的图象，

由图可知，f（x）在[-9，9]上零点个数是4，
故选D．

点评：本题考查抽象函数的应用，涉及函数奇偶性，单调性的应用；关键是根据题意，分析出f（x）的周期性、单调性以及f（3）的值，属中档题．