Question

(1)利用计算器，求方程lgx＝3－x的近似解(精确到0.1)．

(2)作出函数y＝x³与y＝3x－1的图象，并写出方程x³＝3x－1的近似解(精确到0.1)．

Answer 1

答案：
解析：

分析：(2)与(1)有明显的不同，(1)的方程对应的函数图象容易作出，所以根据图象初步判断方程的根的起步区间比较容易，而(2)中，方程可以化为lgx－3＋x＝0，对应的函数是f(x)＝lgx－3＋x，无法作出它的图象．但是我们考虑原方程两边的对应函数都是我们熟悉的形式，分别是对数函数y＝lgx和一次函数y＝3－x，我们分别画出y＝lgx和y＝3－x的图象，如图所示．在两个函数图象的交点处，函数值相等即y值相等．因此，这个点的横坐标就是方程lgx＝3－x的解．由函数y＝lgx与y＝3－x的图象可以发现，方程lgx＝3－x有唯一解，记为x1，并且这个解在区间(2，3)内．然后如同(1)，利用二分法，多次把区间缩小，取其中符合条件的半区间，直到精确到符合要求为止． 　　(1)解：在同一坐标系内作出函数y＝lgx和函数y＝3－x的图象(如图)，因为函数y＝lgx是定义域内的增函数，函数y＝3－x是定义域内的减函数，由图象可知，方程的根在区间(2，3)内，且只有这一个根．设方程的根为x1， 　　令f(x)＝lgx－3＋x，用计算器计算，得 　　f(2)＜0，f(3)＞0x1∈(2，3)， 　　f(2.5)＜0，f(3)＞0x1∈(2.5，3)， 　　f(2.5)＜0，f(2.75)＞0x1∈(2.5，2.75)， 　　f(2.5)＜0，f(2.625)＞0x1∈(2.5，2.625)， 　　f(2.562 5)＜0，f(2.625)＞0x1∈(2.562 5，2.625)．因为2.562 5与2.625精确到0.1的近似值都为2.6，所以原方程的近似解为x1≈2.6． 　　点评：同样，在解题过程中，要提醒同学们注意保证计算的准确率，取近似解时的最后一个区间应该是哪一个，怎样判断我们的计算已经符合精确度的要求了． 　　(2)解：函数y＝x3与y＝3x－1的图象如图所示，在两个函数图象的交点处，函数值相等．因此，这三个交点的横坐标就是方程x3＝3x－1的解． 　　由图象可以知道，方程x3＝3x－1的解分别在区间(－2，－1)，(0，1)和(1，2)内．那么，对于区间(－2，－1)，(0，1)和(1，2)分别利用二分法就可以求得它精确到0.1的近似解为 　　x1≈－1.9， 　　x2≈0.3， 　　x3≈1.5．