Question

6．如图，四棱锥P-ABCD中，BC∥AD，BC=1，AD=2，AC⊥CD，且平面PCD⊥平面ABCD．
（1）求证：AC⊥PD；
（2）在线段PA上是否存在点E，使BE∥平面PCD？若存在，确定点E的位置，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用面面垂直的性质定理证明AC⊥平面PCD，即可证明AC⊥PD；
（2）当点E是线段PA的中点时，BE∥平面PCD．利用已知条件，得到四边形BCFE为平行四边形，再利用线面平行的判定定理即可证明．

解答 证明：（1）连接AC，
∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，AC⊥CD，AC?平面ABCD，
∴AC⊥平面PCD，…（4分）
∵PD?平面PCD，所以AC⊥PD．…（5分）
（2）当点E是线段PA的中点时，BE∥平面PCD．…（6分）
证明如下：分别取AP，PD的中点E，F，连接BE，EF，CF．则EF为△PAD的中位线，
所以EF∥AD，且$EF=\frac{1}{2}AD=1$，
又BC∥AD，所以BC∥EF，且BC=EF，
所以四边形BCFE是平行四边形，所以BE∥CF，…（10分）
又因为BE?平面PCD，CF?平面PCD
所以BE∥平面PCD．…（12分）

点评 熟练掌握面面垂直的性质定理、平行线分线段成比例定理在三角形中的应用、平行四边形的判定和性质定理、线面平行的判定定理是解题的关键．