Question

已知抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点为F，定点A（3，2）与点F在C的两侧，C上的动点P到点A的距离与到其准线l的距离之和的最小值为

10

．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）设l与y轴交于点M，过点M任作直线与C交于P，Q两点，Q关于y轴的对称点为Q′．
①求证：Q′，F，P共线；
②求△MPQ′面积S的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）过P作PP₁⊥l于P₁，则|PA|+|PP₁|=|PA|+|PF|≥|AF|．当P，A，F共线时，|PA|+|PP₁|取最小值，|AF|=

9+( p 2 -2)2

=

10

．解得p=6，或p=2，由此能求出抛物线C的方程．
（Ⅱ）①设直线PQ的方程为y=kx-1，由

y=kx-1 x2=4y

消去y，整理得x²-4kx+4=0，由△=16k²-16＞0，得|k|＞1．再由韦达定理知Q′，F，P共线．
②S=

1

2

|MF|(|x1|+|-x2|)=

1

2

•2•(|x1|+|x2|)=|x₁+x₂|=4|k|，由|k|＞1，知S＞4．

解答：解：（Ⅰ）过P作PP₁⊥l于P₁，则|PA|+|PP₁|=|PA|+|PF|≥|AF|．
当P，A，F共线时，|PA|+|PP₁|取最小值|AF|=

9+( p 2 -2)2

=

10

．
解得p=6，或p=2．（3分）
当p=6时，抛物线C的方程为x²=12y，此时，点A与点F在抛物线C同侧，这与已知不符．∴p=2，
抛物线C的方程为x²=4y．（5分）
（Ⅱ）①设直线PQ的方程为y=kx-1，由

y=kx-1 x2=4y

消去y，整理得x²-4kx+4=0，
由△=16k²-16＞0，得|k|＞1．（7分）
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则Q′（-x₂，y₂），x₁+x₂=4k，x₁•x₂=4.kFP-kFQ/=

y1-1

x1

-

y2-1

-x2

=

kx1-2

x1

+

kx2-2

x2

=

2kx1x2-2(x1+x2)

x1x2

=

2k•4-2•4k

4

=0．
∴Q′，F，P共线．（11分）
②S=

1

2

|MF|(|x1|+|-x2|)=

1

2

•2•(|x1|+|x2|)=|x₁+x₂|=4|k|，
∵|k|＞1，∴S＞4．（15分）

点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，计算量较大，计算过程较繁，解题时要认真审题，合理地进行等价变换，注意提高解题技巧．