Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

6

3

，短轴一个端点到右焦点F的距离为

3

，
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l：mx+ny=0（m，n∈R）与椭圆C交于A，B两点，求△AFB面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）由短轴一个端点到右焦点F的距离为

3

，可得a．由离心率为

6

3

，可得

c

a

=

6

3

，解得c．再利用b²=a²-c²即可得出．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），分类讨论：n=0，直线l与y轴重合，直接得出S_△AFB=

1

2

×2b×c=bc．当n≠0，m≠0时，联立

mx+ny=0 x2+3y2=3

，可得|AB|=2

x2+y2

，利用点到直线的距离公式可得：点F（

2

，0）到直线l的距离d，利用S_△AFB=

1

2

|AB|•d和函数的单调性及不等式的性质可得．经比较即可得出．

解答：解：（1）∵短轴一个端点到右焦点F的距离为

3

，∴a=

3

，
∵离心率为

6

3

，∴

c

a

=

6

3

，解得c=

2

，
∴b²=a²-c²=1，
∴椭圆C的方程为

x2

3

+y2=1．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），①n=0，直线l与y轴重合．
此时S_△AFB=

1

2

×2b×c=bc=

2

．
②n≠0，m≠0时，联立

mx+ny=0 x2+3y2=3

，解得

x2= 3n2 1+3m2 y2= 3m2 1+3m2

，
∴|AB|=2

x2+y2

=

3n2+3m2 1+3m2

，
点F（

2

，0）到直线l的距离d=

| 2 m|

m2+n2

，
∴S_△AFB=

1

2

|AB|•d=

6 |m|

1+3m2

=

6

1 m2 +3

＜

6

3

=

2

．
综上①②可知：直线l与y轴重合，△AFB面积取得最大值

2

．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程组的解、弦长公式、三角形的面积计算公式、分类讨论等基础知识与基本技能方法，属于难题．