Question

已知函数为偶函数．
(1)求的值；
(2)若方程有且只有一个根，求实数的取值范围．

Answer 1

（1）－，（2）{a|a>1或a＝－2－2}

试题分析：（1）根据偶函数性质列等量关系：∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，即log4(4－x＋1)－kx＝log4(4x＋1)＋kx，即(2k＋1)x＝0，∴k＝－.（2）先将方程转化为一元二次方程.由 得log4(4x＋1)－x＝log4 (a·2x－a)，即令t＝2x，则(1－a)t2＋at＋1＝0，只需其有一正根即可满足题意．①当a＝1时，t＝－1，不合题意，舍去．②有一正一负根， ，a>1. ③有两根相等，a＝－2(＋1)．
解：(1)∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，
即log4(4－x＋1)－kx＝log4(4x＋1)＋kx，
即(2k＋1)x＝0，∴k＝－.          6分
(2)依题意令log4(4x＋1)－x＝log4 (a·2x－a)，
即         8分
令t＝2x，则(1－a)t2＋at＋1＝0，只需其有一正根即可满足题意．
①当a＝1时，t＝－1，不合题意，舍去．      9分
②上式有一正一负根t1，t2，
即，得a>1.
此时，a·2x－a=>0， ∴a>1. ------11分
③上式有两根相等，即Δ＝0⇒a＝±2－2，此时t＝，
若a＝2(－1)，则有t＝<0，此时方程(1－a)t2＋at＋1＝0无正根，
故a＝2(－1)舍去；       13分
若a＝－2(＋1)，则有t＝>0，且a· 2x－a＝a(t－1)＝a＝>0，因此a＝－2(＋1)．      15分
综上所述，a的取值范围为{a|a>1或a＝－2－2}．          16分